Question

将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．

将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5；
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否有与点M的位置关系？若有关，请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）设正方形边长为a，DE为x，则DM= a/2，EM=EA=a-x
在Rt△DEM中，∠D=90°，
∴DE²+DM²=EM²
x²+（ a/2）²=（a-x）²
x= 3a/8
EM= 5a/8
DE：DM：EM=3：4：5；
（2）△CMG的周长与点M的位置无关
证明：
设DE=x，EA=y，DM=m,CM=n,则EM=y,
可得方程组：x+y=2a ①
y²-x²=m² ②
m+n=2a ③
由 ①②可求:x=a-m²/4a=n-n²/4a
由△DEM∽△CMG得：
△DEM周长/△CMG周长=x/n
又由△DEM周长=m+x+y=m+2a=4a-n
(4a-n)/△CMG周长=(4a-n)/4a
所以△CMG周长=4a
如果本题有什么不明白可以追问，如果满意记得采纳
如果有其他问题请另发或点击向我求助，答题不易，请谅解，谢谢。
祝学习进步！