Question

三角形ABC的内角ABC的对边分别为abc已知cos（A－C）＋cosB＝1 a＝2c求C

Answer 1

由于在三角形abc中，A+B+C=180°，所以B=180°-A-C，因此推出cosB=cos（180°-A-C）=cos(90°-A+90°-C)=cos(90°-A)cos((90°-C)-sin(90°-A)sin((90°-C)=sinAsinC-cosAcosC
又根据根据正弦定理有：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 推出a/c=sinA/sinC=2推出sinA=2sinC
再回到已知条件：cos(A-C)+cosB=cosAcosC+sinAsinC+sinAsinC-cosAcosC=2sinAsinC=1把sinA=2sinC代入得到4sinC的平方=1故推出sinC=正负1/2因为a=2c,A大于C，故C为锐角，所以C=30°

Answer 2

答：
三角形ABC满足：
cos(A-C)+cosB=1
因为：cosB=-cos(A+C)
所以：cos(A-C)-cos(A+C)=1
2sinAsinC=1……………………（1)
a=2c
根据正弦定理有：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
所以：2c/sinA=c/sinC
所以：sinA=2sinC………………（2）
由（1）和（2）知道：
4(sinC)^2=1
sinC=1/2（sinC=-1/2<0不符合舍去）
所以：sinA=2sinC=1
所以：A=90°
所以：C=30°（C=150°不符合舍去）
综上所述，C=30°

Answer 3

cos(A-C)+cosB=cos(A-C)+(-cos(A+C))=cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC+sinAsinC=2sinAsinC=1
又因为a/sinA=c/sinc，且a=2c，所以sinA=2sinC，代入上式得，sinC=1/2
因为a=2c，所以角A大于角C，所以角C为锐角；且sinC=1/2，所以C=30度。