Question

在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB+ccosC=acosA,试判断三角形ABC的形状。

别用余弦定理，还有什么方法？
正弦余弦两个定理都别用

Answer 1

解：
bcosB+ccosC=acosA
根据正弦定理有
sinBcosB+sinCcosC=sinAcosA
sin2B+sin2C=sin2A
2sin(B+C)cos(B-C)=2sinAcosA
显然sinA=sin(B+C)不等于0
上式化简得cos(B-C)=cosA
不妨设∠B>∠C
那么有B-C=A
B=A+C=90°
所以三角形ABC为直角三角形。

追问

我说了别tmd用正、余弦定理

追答

没有使用余弦定理啊，但用了正弦定理，这里所有给你回答的都用到了正弦定理。包括你追问∴sin2A=sin2B+sin2C
∴sin2A=2sin(B+C)cos(B-C)的那个。

Answer 2

∵bcosB+ccosC=acosA
∴sinAcosA=sinBcosB+sinCcosC
∴sin2A=sin2B+sin2C
∴sin2A=2sin(B+C)cos(B-C)
∴2sinAcosA-2sinAcos(B-C)=0
∴sinA[cosA-cos(B-C)]=0
∴cos(B-C)+cos(B+C)=0
∴cosBcosC=0
∴cosB=0或cosC=0
∴三角形ABC为直角三角形

追问

∴sin2A=sin2B+sin2C
∴sin2A=2sin(B+C)cos(B-C)
解释一下，这步你咋想见的

追答

SIN2B=sin[(B+C)+(B-C)]

SIN2C=sin[B+C)-(B-C)]
然后展开就得到2sin(B+C)cos(B-C)

Answer 3

正弦定理：
由a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
代入bcosB+ccosC=acosA,并消去2R
可得sinBcosB+sinCcosC=sin(B+C)=sinA=sinAcosA
因为sinA>0
所以cosA=0,
A=pi/2,
所以为直角三角形。

追问

我说了别tmd用正、余弦定理

追答

你哪里说了不用正弦定理了？
另外，请注意素质。

追问

好吧我不说脏字了。但是我说过了，别用

追答

你只说别用余弦定理，没说不可以用正弦定理啊。

Answer 4

这种题目就是正余弦定理都用，除此之外，真没有其他方法