Question

如图,顶点座标为(2.-1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)

如图,顶点座标为(2.－1)的抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与y轴交与点C（0,3），与X轴交于A、B两点.

（1）求抛物线的表达式.

（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD求△ACD的面积.

（3）点E为直线BC上一动点，过点E做Y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)抛物线顶点式为y=a(x-2)²-1，代入C(0,3)得a=1。所以y=x²-4x+3

 

(2)易知A(1,0)、B(3,0)，直线BC方程y=-x+3。抛物线对称轴为直线x=2，所以D(2,1)

CD⊥AD，所以S△ACD=(1/2)*CD*AD=(1/2)*2√2*√2=2

 

(3)根据相似等角对应关系，分为2类进行讨论

i)若∠EDF=∠COB=90°，根据DE斜率-1，那么只能DF斜率1，则DF所在直线方程为y=x-1。联立抛物线方程解得F横坐标为1或4，所以E(1,2)或(4,-1)

ii)若∠EFD=∠COB=90°，因为EF//CO，所以DF⊥CO，F纵坐标跟D纵坐标同为1，带入抛物线方程解得F横坐标为2±√2。所以E(2-√2,1+√2)或(2+√2,1-√2)

 

综合上述：存在E点有4个，(1,2)或(4,-1)或(2-√2,1+√2)或(2+√2,1-√2)。