Question

求解！！！！！！！求数学天才解答！详解……………… 已知函数fx=ax sinx+cosx，且fx在

求解！！！！！！！求数学天才解答！详解………………
已知函数fx=ax sinx+cosx，且fx在x=兀/4处的切线斜率为√2兀/8。问①求a的值，并讨论fx在｛-兀，兀｝上的单调性。②设函数gx=ln（mx+1）+1-x/1+x，x≥0，其中m＞0，若对任意的X1∈｛0，+∞｝总存在X2∈｛0，兀/2｝，使得gx1≥fx2成立，求m的取值范围！

Answer 1

这题描述不清楚：是下面的吗？
fx=axsinx+cosx gx=ln(mx+1)+(1-x)/(1+x)，x≥0.

追答

1 fx=axsinx+cosx f‘(x)=asinx+axcosx-sinx
√2π/8=f‘(π/4)=asinπ/4+aπ/4cosπ/4-sinπ/4=a(√2/2+(π/4)(√2/2))-√2/2 解得a=1
f‘(x)=xcosx=0, 在（-π，π)上，x=0 x=π/2 x=-π/2
（-π,-π/2) (0，π/2)增加； (-π/2，0）（π/2，π)减少
2. f(x)在[0,π/2]的最大值是π/2
g(x)=ln(mx+1)+(1-x)/(1+x)
g'(x)=m/(mx+1)+(-1-x-1+x)/(1+x)^2=m/(mx+1)-2/(1+x)^2

对不起，今天没时间啦。换个时间

2. f(x)在[0,π/2]的最大值是π/2，最小值1
设F=ln(mx+1)+(1-x)/(1+x)-1
F'(x)=m/(mx+1)+(-1-x-1+x)/(1+x)^2=m/(mx+1)-2/(1+x)^2=[mx^2+m-2)/(1+x)^2
当m》2时，F'(x)》0，F(x)》F(0)=0
即ln(mx+1)+(1-x)/(1+x)》1=min{f(x)}
上式表明：当m》2时，对任意的X∈｛0，+∞｝总存在X2=0∈｛0，兀/2｝，使得gx1≥fx2成立.
所以：m》2