Question

一道高等代数证明题

在闭区间[a,b]上的所有实连续函数构成的线性空间C（a,b）中，对于任两个函数f(x),g(x)，定义(f,g)=∫baf(x)g(x)dx，证明（f，g）为内积
谢谢

Answer 1

就是按定义验证.
1. 对称性.
对任意f,g ∈ C[a,b], (f,g) = ∫{a,b} f(x)g(x) dx = ∫{a,b} g(x)f(x) dx = (g,f).

2. 双线性.
对任意f,g,h ∈ C[a,b], (f,g+h) = ∫{a,b} f(x)(g(x)+h(x)) dx
= ∫{a,b} f(x)g(x) dx+∫{a,b} f(x)h(x) dx = (f,g)+(f,h).
对任意实数c, (f,c·g) = ∫{a,b} f(x)(c·g(x)) dx = c·∫{a,b} f(x)g(x) dx = c·(f,g).
因此(,)对第二个分量是线性的, 又由对称性, 其对第一个分量也是线性的.

3. 正定性.
对任意f ∈ C[a,b], (f,f) = ∫{a,b} f(x)² dx ≥ 0. (f是实函数, 故f(x)² ≥ 0).
对f不恒为零, 存在t ∈ [a,b], 使f(t) ≠ 0.
由f(x)连续, 存在包含t的一个区间[r,s] (r < s), 使|f(x)| ≥ |f(t)|/2在[r,s]上恒成立.
则(f,f) = ∫{a,b} f(x)² dx ≥ ∫{r,s} f(x)² dx ≥ ∫{r,s} (|f(t)|/2)² dx = (s-r)f(t)²/4 > 0.
故(f,f) = 0当且仅当f在[a,b]上恒等于零(即为线性空间C[a,b]中的零元素).