如何解有自然对数底数的微分方程的通解，例如如何解：求y′=e^(x/y)+y/x的通解 5
1个回答
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这个题目与e的指数函数无关
设u=y/x,y=ux,y'=u'x+u
方程化为u'x+u=e^u+u
u'x=e^u
即du/e^u=dx/x
得-e^(-u)=ln|x|+C0
即通解为e^(-y/x)=C-ln|x|
设u=y/x,y=ux,y'=u'x+u
方程化为u'x+u=e^u+u
u'x=e^u
即du/e^u=dx/x
得-e^(-u)=ln|x|+C0
即通解为e^(-y/x)=C-ln|x|
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追问
好像错了，e的上标是x/y次，不是y/x
还有另外一个题：求[1+e^(x/y)]dx+[e^(x/y)](1-x/y)dy=0的通解
追答
不好意思，写错了，不过如果是如此的话，可能无法积成初等函数形式，
u'x=e^(1/u)
e^(-1/u)du=dx/x
若设成x/y=u,y=x/u,y'=(u-xu')/u^2
(u-xu')/u^2=e^u+1/u
du/(u^2e^u)=-dx/x
1/(u^2e^u)同样无法积成初等函数形式，
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