Question

已知f（x）的一个原函数为e^(x^2),求∫xf'(2x)dx 过程加答案

Answer 1

f（x）=e^(x^2)的导数=e^(x^2)*2x

∫xf'(2x)dx
=∫ xdf（2x）/2【这个是基本性质】
=(xf（2x）-∫ f（2x）dx)/2
=2x²*e^(4x²)- e^(4x²) /4+C

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Answer 2

已知f（x）的一个原函数为e^(x^2),
∴f(x)=(e^(x^2))′=2xe^(x^2);
∴f′(x)=2e^(x^2)+4x²e^(x^2);
∴f′(2x)=2e^(4x^2)+16x²e^(4x^2);
∴∫xf'(2x)dx=∫2xe^(4x^2)+16x³e^(4x^2)dx=e^(4x^2)/4+2x²e^(4x^2)-∫e^(4x^2)4xdx
=e^(4x^2)/4+2x²e^(4x^2)-e^(4x^2)/2+C;(C为常数)
=（2x²-1/4）e^(4x^2)+C;(C为常数)

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