Question

已知三角形ABC,角C=90度,AC=BC,D为BC上一点,且AB=AC+CD.求证AD平分角CAB.

Answer 1

正面不好解决，不如用反证法证明，即：

假设AD平分∠CAB，那么能否推出已知：AB=AC+CD

证明：过D作DE⊥AB，垂足为E
∵∠ACB=90°
∴∠C=∠DEA
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵在△ACD和△AED中

∵∠C=∠AED    

∵∠CAD=∠DAE    

又AD=AD       

∴△ACD≌△AED（AAS）
∴AC=AE，CD=DE
∵AC=BC，∠ACB=90°
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠B=∠CAB=45°
∴∠BDE=180°-90°-45°=45°
∴∠EDB=∠B
∴CD=DE=EB
∴AB=AE+EB=AC+CD

∴满足已知，故假设成立，命题得证

追问

你的方法很好，但是现在反证法被删除了，用了扣分的……真的很抱歉

Answer 2

做AE=AC, 则BE＝CD

AB=√2AC   BE=(√2-1)AC=CD

BC=AC  BD=AC-CD=AC-(√2-1)AC=(2-√2)AC

ED^2=BE^2+BD^2-2BE*BD*cosB

       =(3-2√2)AC^2+(6-4√2)AC^2-(6-4√2)AC^2

       =(3-2√2)AC^2

CD^2=(3-2√2)AC^2

ED=CD    AE=AC  AD=AD

△AED≌△ACD    ∠EAD=∠CAD

故，AD平分角CAB

Answer 3

三角形ABC,角C=90度,AC=BC,所以
∠A=∠B=45度
在AC的延长线上取点E，使CE=CD，则有
△ACD≌△AEB（AAS）
因为D为BC上一点,且AB=AC+CD.
所以AE=AB,∠CAD=∠CBE
∠ABE=∠BEA=67.5度
所以∠CBE=22.5度
所以∠DAB=∠DAC=22.5度
即AD平分角CAB

Answer 4

过D作DE⊥AB于E，交AC的延长线于F，
∵ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠B=45°，
∴ΔBDE是等腰直角三角形，∴DE=BE，∠CDF=∠BDE=45°，
∴ΔCDF也是等腰直角三角形，∴∠F=45°，CD=CF，
∵AB=AC+CD=AF，∠AEF=∠ACB=90°，∠F=∠B=45°，
∴ΔAFE≌ΔABC，∴AE=AC，
∴AB-AE=AF-AC，即CF=BE，
∴CD=DE，又∠DCA=∠DEA=90°，
∴AD平分∠BAC(到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上)。