Question

已知函数f（x）=ax 2 +bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R），若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），

已知函数f（x）=ax 2 +bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R），若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），（1）求f（x）的表达式；（2）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）因为f（-1）=0，所以a-b+1=0． 因为f（x）的值域为[0，+∞），所以 a＞0 △= b 2 -4a=0. ．（3分） 可得 b 2 -4（b-1）=0，解得b=2，a=1，所以f（x）=（x+1） 2 ．…（6分） （2）因为g（x）=f（x）-kx=x 2 +2x+1-kx=x 2 +（2-k）x+1= (x+ 2-k 2 ) 2 +1- (2-k) 2 4 ，…（8分） 所以当  k-2 2 ≥2  或 k-2 2 ≤-2 时，函数g（x）在∈[-2，2]上单调．…（11分） 即k的范围是（-∞，-2]∪[6，+∞）时，g（x）是单调函数， 故实数k的取值范围是（-∞，-2]∪[6，+∞）． …（13分）