Question

已知函数f（x）=ln（1+2x）+ax（a＜0）（1）若f（x）在x=0处取极值，求a的值，（2）讨论f（x）的单调性，

已知函数f（x）=ln（1+2x）+ax（a＜0）（1）若f（x）在x=0处取极值，求a的值，（2）讨论f（x）的单调性，（3）证明（1+13）（1+19）…（1+13n）＜e，（e为自然对数的底数，n∈N*）．

Answer 1

（1）解：∵f（x）=ln（1+2x）+ax（a＜0）
∴f′(x)＝

2

1+2x

+a，
∵f（x）在x=0处取极值，
∴f′（0）=2+a=0，解得a=-2，
验证知a=-2符合条件，∴a=-2．
（2）解：f′(x)＝

2

1+2x

+a=

2ax+2+a

1+2x

，
①若a=0，f′（x）＞0，∴f（x）在（-

1

2

，+∞）上单调递增；
②若

a＜0 2+a≤0

，当a≤-2时，f′（x）≤0对x∈（-

1

2

，+∞）恒成立，
∴f（x）在（-

1

2

，+∞）上单调递减；
③-

2+a

2a

＝?

1

a

?

1

2

＞?

1

2

，
若-2＜a＜0，由f′（x）＞0，得2ax+2+a＞0，
∴-

1

2

＜x＜?

2+a

2a

，
再令f′（x）＜0，得x＞-

2+a

2a

，
∴f（x）在（-

1

2

，-

2+a

2a

）上单调递增，在（-

2+a

2a

，+∞）上单调递减．
（3）证明：由（2）知，当a=-2时，f（x）在（-

1

2

，+∞）上单调递减，
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0，
∴ln（1+2x）＜2x，
∴ln[（1+

1

3

）（1+

1

9

）…（1+

1

3n

）]
=ln（1+

1

3

）+ln（1+