Question

（类型A）已知函数f（x）=x2+2x+alnx(x＞0)，f（x）的导函数是f′（x），对任意两个不相等的正数x1，x2，

（类型A）已知函数f（x）=x2+2x+alnx(x＞0)，f（x）的导函数是f′（x），对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：（1）当a≤0时，f(x1)+f(x2)2＞f(x1+x22)（2）当a≤4时，|f′（x1）-f′（x2）|＞|x1-x2|（类型B）某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元．如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人．如何组团，可使旅行社的收费最多？

Answer 1

（类型A）证明：（1）由 f(x)＝x2+

2

x

+alnx
得

f(x1)+f(x2)

2

＝

1

2

(x12+x22)+(

1

x1

+

1

x2

)+

a

2

(lnx1+lnx2)=

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

f(

x1+x2

2

)＝(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1+x2

2

而

1

2

(x12+x22)＞

1

4

[(x12+x22)+2x1x2]2＝(

x1+x2

2

)2①
又（x₁+x₂）²=（x₁²+x₂²）+2x₁x₂＞4x₁x₂