证明此级数连续，无穷次可导，且可逐项求导。 5
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先验证该级数在 (0,+∞) 内闭一致收敛，其余就好办了。
对 (0,+∞) 的任意一点 x0，取 (0,+∞) 的包含 x0 的闭子区间 [a,b]，有
|ne^(-nx)|≤ ne^(-an)，x∈[a,b]，
而级数Σne^(-an) 收敛，据 M-判别法，得知原级数在 [a,b] 上一致收敛。又 ne^(-nx) 在 [a,b] 上连续（或无限次可导），可知原级数在 [a,b] 上连续（或无限次可导），且逐项可导。……
对 (0,+∞) 的任意一点 x0，取 (0,+∞) 的包含 x0 的闭子区间 [a,b]，有
|ne^(-nx)|≤ ne^(-an)，x∈[a,b]，
而级数Σne^(-an) 收敛，据 M-判别法，得知原级数在 [a,b] 上一致收敛。又 ne^(-nx) 在 [a,b] 上连续（或无限次可导），可知原级数在 [a,b] 上连续（或无限次可导），且逐项可导。……
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