Question

设等差数列{an}的前n项和为Sn．且S4=4S2，a2n=2an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若an=2n-1，数列{

设等差数列{an}的前n项和为Sn．且S4=4S2，a2n=2an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若an=2n-1，数列{bn}满足：b1=3，bn-bn-1=an+1（n≥2），求数列{1bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n．且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，
∴

4a1+ 4?3 2 d＝4(2a1+d) a1+(2n?1)d＝2a1+2(n?1)d+1

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．（5分）
（2）∵a_n=2n-1，数列{b_n}满足：b₁=3，b_n-b_n-1=a_n+1（n≥2），
∴当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₃-b₂）+（b₂-b₁）+b₁
=a_n+1+a_n+…+a₄+a₃+b₁
=n²+2n，
当n=1时，也成立，
∴b_n=n²+2n，
∴

1

bn

=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

?

1

n+2

)，
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

?

1

4

）+…+（

1

n?1

?

1

n+1

）+（

1

n

?

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

．