Question

如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，

如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．其中正确结论是（　　）（1）在图1中∠A+∠D=∠C+∠B．（2）在图2中“8字形”的个数为4．（3）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时∠P=45度．（4）图2中∠D和∠B为任意角时其他条件不变∠D+∠B=2∠P． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）

Answer 1

（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC， ∴∠A+∠D=∠C+∠B，故本选项正确；                     （2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”； ②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”； ③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”； ④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个，故本选项错误；                                （3）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，① ∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB， ①+②得： ∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P=∠D+∠B， 又∵∠D=50度，∠B=40度， ∴2∠P=50°+40°， ∴∠P=45°，故本选项正确；                        （4）关系：2∠P=∠D+∠B．    由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4① 由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2，②  ①+②得： ∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1， ∠D+2∠B=2∠P+∠B， 即2∠P=∠D+∠B，故本选项正确． 故选C．