Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且acosB+acosC=b+c，则△ABC的形状是（　　） A．等边三角形

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且acosB+acosC=b+c，则△ABC的形状是（　　） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

Answer 1

解法1：∵ cosB = a 2 + c 2 - b 2 2ac ， cosC = a 2 + b 2 - c 2 2ab ， ∴acosB+acosC= a? a 2 + c 2 - b 2 2ac + a? a 2 + b 2 - c 2 2ab = a 2 ?b +b? c 2 - b 3 + b 2 ? c+ a 2 ?c- c 3 2bc = a 2 (b +c)+bc(b+c)- b 3 - c 3 2bc = a 2 (b +c)+bc(b+c)- (b+c)(b 2 - bc+c 2 ) 2bc =b+c，∵b+c＞0， ∴a 2 -b 2 -c 2 +2bc=2bc， ∴a 2 =b 2 +c 2 ， 故选D． 解法2：由acosB+acosC=b+c可知，∠B，∠C不可能为钝角，过点C向AB作垂线，垂足为D，则acosB=BD≤BA=c，同理acosC≤b， ∴acosB+acosC≤b+c， 又∵acosB+acosC=b+c， ∴acosB=c，acosC=b，∴∠A=90°； 故选D．