Question

（2014?泰兴市二模）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于D，交BC于E，已知CD=AD．（1）求证：AB=CB；（

（2014?泰兴市二模）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于D，交BC于E，已知CD=AD．（1）求证：AB=CB；（2）过点D作出⊙O的切线；（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法）（3）设过D点⊙O的切线交BC于H，DH=32，tanC=3，求⊙O的直径．

Answer 1

（1）证明：如图1，连结BD．
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴AD⊥BD．
又∵CD=BD，
∴AB=AC．

（2）解：如图1所示：
（过点D作BC的垂直线或作O、D连线的垂线）；

（3）解：连结OD，BD．
∵CD=AD，AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线．
∴OD∥BC．
∵过点D的直线与⊙O相切，
∴OD⊥DH．
∵OD∥BC，
∴DH⊥BC．
在Rt△DHC中，
∵DH=

3

2

，tanC=3，
∴CH=

1

2

，CD=

1

2

10

，
∵∠C=∠C，∠CDH=∠CDB=90°，
∴△CHD∽△CDB，
∴

CH

CD

=

CD

CB

，
∴

1 2

1 2 10

=

1 2 10

BC

，
解得：BC=5，
即AB=5，
∴⊙O的直径为5．

Answer 2

1.连接BD，则BD⊥AC
由于CD=AD，BD=BD，则△CDB≌△ADB
故AB=CB
3.易证∠DHB=90º
设BD中点为F，连OF;令θ=∠C
在RT△DOF中，DF=OD*sin∠DOF=OD*sin∠A=OD*sin∠C=OD*sinθ
在RT△DBH中，DH=BD*cos∠BDH=BD*cos∠C=BD*cosθ
则，DH=2*DF*cosθ=2*OD*sinθ*cosθ=2*OD*sinθ*cosθ
即：OD=DH/（2sinθcosθ） (1)
在RT△CDB中，因tanC=3,可算得sinC=3/√10,cosC=1/√10
代入（1）得，OD=32/6×10=160/3
故，⊙O的直径为320/3