Question

已知：等差数列{an}中，a3+a4=15，a2a5=54，公差d＜0．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求Sn-ann的最

已知：等差数列{an}中，a3+a4=15，a2a5=54，公差d＜0．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求Sn-ann的最大值及相应的n的值．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}为等差数列，
∴a₂+a₅=a₃+a₄=15，
∴

a2+a5=15 a2a5=54

，解得

a2=6 a5=9

或

a2=9 a5=6

，
∵d＜0，
∴a₂=9，a₅=6，
则a₁=10，d=-1．
∴a_n=11-n；
（2）∵a₁=10，a_n=11-n，
∴Sn=-

1

2

n2+

21

2

n，

Sn-an

n

=

- 1 2 n2+ 21 2 n-(11-n)

n

=-

1

2

(n+

22

n

)+

23

2

．
令f(x)=x+

22

x

，f′(x)=1-

22

x2

=0，
知f(x)在(0，

22

)上单减，在(

22

，+∞)上单增，
又4＜

22

＜5，
而f(4)=9

1

2

＞f(5)=9

2

5

．
∴当n=5时，

Sn-an

n

取最大值为-

1

2

×

47

5

+

23

2

=

34

5

．