Question

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）?．?（1）求证：f（x）是周期函数；?（2）若f（x）为

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）?．?（1）求证：f（x）是周期函数；?（2）若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=12x，求f（x）在[-1，3]的解析式；（3）在（2）的条件下．求使f（x）=-12在[0，2 011]上的所有x的个数．?

Answer 1

解答：解（1）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），…（2分）?
∴f（x）是以4为一个周期的周期函数．…（4分）?
（2）解  当0≤x≤1时，f（x）=

1

2

x，?
设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，∴f（-x）=

1

2

（-x）=-

1

2

x．?
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-

1

2

x，即f（x）=

1

2

x．…（6分）?
故f（x）=

1

2

x（-1≤x≤1）…（8分）?
再设1＜x≤3，则-1＜x-2≤1，?∴f（x-2）=

1

2

（x-2），
又∵f（x-2）=-f（x），?∴-f（x）=

1

2

（x-2），可得f（x）=-

1

2

（x-2）（1＜x≤3）．
综上所述，f（x）在[-1，3]的解析式为：f（x）=

1 2 x                (?1≤x≤1) ? 1 2 (x?2)       (1＜x≤3)

…（10分）
（3）由f（x）=-

1

2

，当x∈[-1，3）时，解得x=-1．?
∵f（x）是以4为周期的周期函数．?
∴f（x）=-

1

2

的所有解为x=4n-1 （n∈Z）．…（12分）?
令0≤4n-1≤2011，则

1

4

≤n≤503，?
又∵n∈Z，∴1≤n≤503 （n∈Z），?
∴在[0，2 011]上共有503个x使f（x）=-

1

2

．…（14分）