已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+（-1）n（n∈N*）．（1）若bn=a2n-1-13，求证：数列{bn}是等比数列并求
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+（-1）n（n∈N*）．（1）若bn=a2n-1-13，求证：数列{bn}是等比数列并求其通项公式；（2）求数列{an}的...
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+（-1）n（n∈N*）．（1）若bn=a2n-1-13，求证：数列{bn}是等比数列并求其通项公式；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求证：1a1+1a2+…+1an＜3．
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解答：（本小题满分15分）
解：（1）a2n+1＝2a2n+(?1)2n=2[2a2n?1+(?1)2n?1]+1＝4a2n?1?1，…（2分）
＝
＝
＝4，又b1＝a1?
＝
．
所以{bn}是首项为
，公比为4的等比数列，且bn＝
×4n?1．…（5分）
（2）由（1）可知a2n?1＝bn+
＝
×4n?1+
＝
(22n?1+1)，…（7分）a2n＝2a2n?1+(?1)2n?1＝
(22n?1+1)?1＝
(22n?1)．…（9分）
所以an＝
(2n+(?1)n+1)，
或an＝
…（10分）
（3）∴a2n＝
?22n?
，a2n?1＝
?22n?1+
．
+
＝
+
=
=
≤
=3(
+
)…（12分）
当n=2k时，(
+
)+(
+
)+…+(
+
)
≤3(
+
+
+…+
)＝3×
=3?
＜3
当n=2k-1时，(
+
)+(
+
)+…+(
+
)+
解：（1）a2n+1＝2a2n+(?1)2n=2[2a2n?1+(?1)2n?1]+1＝4a2n?1?1，…（2分）
| bn+1 |
| bn |
a2n+1?
| ||
a2n?1?
|
4a2n?1?
| ||
a2n?1?
|
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
所以{bn}是首项为
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（2）由（1）可知a2n?1＝bn+
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以an＝
| 1 |
| 3 |
或an＝
|
（3）∴a2n＝
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| a2n?1 |
| 1 |
| a2n |
| 3 |
| 22n?1+1 |
| 3 |
| 22n?1 |
=
| 3×(22n+22n?1) |
| 22n?1?22n+22n?22n?1?1 |
=
| 3×(22n+22n?1) |
| 22n?1?22n+22n?1?1 |
| 3×(22n+22n?1) |
| 22n?1?22n |
=3(
| 1 |
| 22n?1 |
| 1 |
| 22n |
当n=2k时，(
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a4 |
| 1 |
| a2k?1 |
| 1 |
| a2k |
≤3(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 22k |
| ||||
1?
|
=3?
| 3 |
| 22k |
当n=2k-1时，(
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a4 |
| 1 |
| a2k?3 |
| 1 |
| a2k?2 |
| 1 |
a
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