Question

已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=[x]x-a（x＞0）有且仅有2个零点，则a的取值范围

已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=[x]x-a（x＞0）有且仅有2个零点，则a的取值范围是 （　　）A．（12，23]B．[12，23]C．（23，34]D．[23，34]

Answer 1

因为f（x）=

[x]

x

-a，有且仅有2个零点，则方程

[x]

x

=a在（0，+∞）上有且仅有2个实数根，且 a≥0．
∵x＞0，∴[x]≥0； 若[x]=0，则

[x]

x

=0；
若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，∴

[x]

[x]+1

＜

[x]

x

≤1，∴

[x]

[x]+1

＜a≤1，
且

[x]

[x]+1

随着[x]的增大而增大．
故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3．
若[x]=1，则有

1

2

＜

[x]

x

≤1；
若[x]=2，则有

2

3

＜

[x]

x

≤1；
若[x]=3，则有

3

4

＜

[x]

x

≤1；
综上；

2

3

＜a≤

3

4

；
故选：C．