Question

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．（1）请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图 2，验证勾股定理；（3）利用图2中的直角梯形，证明a+bc＜2．

Answer 1

解：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
（2）如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²．
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠EDC；
又∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°；
∴∠AED=90°；
S_梯形ABCD=S_Rt△ABE+S_Rt△DEC+S_Rt△AED

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c²；

1

2

（a²+2ab+b²）=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c²；
整理得a²+b²=c²．
（3）∵AD=

2

c，BC＜AD，
∴a+b＜

2

c，即

a+b

c

＜

2

．