Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B,D两点，且分别……

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B,D两点，且分别交AB,BC雨点E,F。
（1）求证：AC是⊙O的切线。
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r。

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC（等量代换），
∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
又∵∠C=90°（已知），
∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），
∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，OD∥BC，
∴OD/ BC =AO/ AB （平行线截线段成比例），
∴r/ 6 =10-r/ 10 ，
解得r=15 /4 ，即⊙O的半径r为15/ 4