Question

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=3，O

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=3，OC=2．在OA上取一点D，将△BDA沿BD对折，使点A落在BC边上的点F处．（1）写出点B、F的坐标；（2）求以点F为顶点，且经过点A的抛物线的解析式；（3）在第（2）题的抛物线上是否存在点P使得四边形PDBF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形ABCO是矩形，
∴AB=OC，BC=OA，
∴OA=3，OC=2，
∴点B的坐标是（3，2），
根据折叠可得DA=DF，
∴DF=CO=2，
∴AD=2，
∴DO=3-2=1，
∴F（1，2），
（2）设点F为顶点，且经过点A的抛物线的解析式为y=a（x-h）²+k，
∵F（1，2），
∴y=a（x-1）²+2，
∵OA=3，
∴A（3，0），
∴0=a（3-1）²+2，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x-1）²+2；
（3）在第（2）题的抛物线上存在点P使得四边形PDBF为平行四边形，
过F作FP∥BD交x轴于P，若四边形PDBF为平行四边形则BF=DP，
∵AB=BF=2，
∴BF=DP=2，
∵AD=DF=OC，OA=3，
∴OD=1，
∴OP=1，
∴P点的坐标（-1，0），
把（-1，0）代入解析式y=-

1

2

（x-1）²+2得0=-

1

2

×4+2，
∴点P在抛物线上，
∴在第（2）题的抛物线上存在点P使得四边形PDBF为平行四边形，点P的坐标是（-1，0）．