Question

高三数学不等式：两正数x，y。x+y=1.(x+1/x)(y+1/y)最小值求解答过程

Answer 1

Answer 2

(x+1/x)(y+1/y)

=(x^2+1)(y^2+1)/xy

=(x^2y^2+x^2+y^2+1)/xy

=[x^2y^2+(x+y)^2-2xy+1)/xy

=xy+2/xy-2

x+y=1

∴ t=xy≤1/4

∴ t+2/t≥1/4+8=33/4

∴ (x+1/x)(y+1/y)≥25/4

Answer 3

(x+1/x)(y+1/y)=xy+x/y+y/x+1/xy
=xy+(x^2+y^2)/xy+1/xy
=xy+[(x+y)^2-2xy]/xy+1/xy
=xy+2/xy-2，令x=(sinθ)^2,y=(cosθ)^2,θ∈（0，π/2），
又令2θ=t，t∈（0，π），用倍角公式等式变形为[(sint)^2]/4+8/[(tant)^2]+6，为了不使tant非常小，所以需要tant无穷大最好，于是t=π/2，得到最小值为6+1/4
{注意，下边的方法是错误的，因为xy不可能等于2/xy——即xy≯√2：xy+2/xy-2≥2*√[xy*(2/xy)]-2=2(√2-1)}
=

Answer 4

x+y=1
x²+y²=1-2xy
(x+1/x)(y+1/y)=xy+(x²+y²+1)/xy=xy+2/xy-2≥4+1/4-2=15/4
(x+1/x)(y+1/y)最小值是3.75

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答案6.25

Answer 5

一看就知道x=y时取最值，具体方法是x=1-y带入后面代数式，就可求出了

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解答题