Question

已知如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点B(1,0)C(4,0)两点,与Y轴的正半轴相交于A点，过A B C三点的圆P与

y轴相切于点A （1）求出A坐标和圆P的半径
（2）确定抛物线的解析式

Answer 1

答：
（1）点B（1,0）和点C（4,0）代入抛物线方程y=ax^2+bx+c得：
a+b+c=0………………………………（1A)
16a+4b+c=0…………………………（1B）
两式相减解得：b=-5a
抛物线方程为y=ax^2-5ax+c，对称轴x=(1+4)/2=5/2，与y轴相交于点A（0，c），c>0.
过A、B、C三点的圆P其圆心必在BC的垂直平分线即对称轴x=5/2上，设圆心坐标P(5/2,p)。
又圆P与y轴相切于点A，所以：p=c，点P（5/2，c）。
R=PA=PB：R=5/2-0=√[(5/2-1)^2+(c-0)^2]，解得：c=2（c=-2与c>0矛盾舍去）
所以圆心P为（5/2,2），圆半径R=5/2
所以圆P方程为：(x-5/2)^2+(y-2)^2=25/2

（2）把点c=2代回（1A）和（1B）两式得：
a+b+2=0
16a+4b+2=0
解得：a=1/2，b=-5/2
所以抛物线的解析式为y=x^2/2-5x/2+2