求关于圆的参数方程的一些例题
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圆的参数方程的应用
教学重点：
（1）参数选取的范围对参数方程的影响。
（2）利用圆的参数方程求最值和求点的轨迹。
教学难点：
利用圆的参数方程求最值和点的轨迹时参数的范围对解答过程的影响及三角函数
的准确运用。
教 具：多媒体电脑、投影仪、黑板
教学过程：
一．复习
（由教师提问，学生回答，多媒体演示。）
1． 参数方程的定义：一般地，在取定的直角坐标系中，如果曲线上任意一点P的
坐标x,y都是某个变数t的函数： x= f（t）
y= g（t） 并且对于t的每一个允许值，
由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组被叫做这条曲线的
参数方程，联系x,y之间关系的变数t叫做参变量，简称参数。
2．普通方程的定义：直接给出曲线上点的坐标x,y之间关系的方程。
3．圆x2+y2=r2的参数方程： x = rcosθ 0≤θ＜2π
y= rsinθ
参数的几何意义：
（通过对以上概念的复习，使学生思想集中起来，进入到圆的参数方程的学习当中去，为接下去的学习创设一个良好的学习氛围。）
复习例题（1）参数方程 x=3cosθ （0≤θ ＜2π）与 x=3cosθ（0≤θ ≤π）
y=3sinθ y=3sinθ
是否表示同一曲线？
分析：这两个方程形式上完全一样，只是参数的范围不一样，学生很容易就分辨出
来是表示不一样的两条曲线。并能得到第一个结论：参数的取值范围也是参数方程的组成部分。
复习例题（2）参数方程 x=3cosθ （0≤θ ＜2π）与 x=3sinα（0≤α＜2π）
y=3sinθ y=3cosα
是否表示同一曲线？
分析：这两个方程在参数的取值范围上是一样的，但是方程的形式不同，学生可以通过考察参数方程化为普通方程之后形式是否一样，同时定义域和值域是否一样，及最后曲线的具体形状来判断是否表示为同一曲线，同时可从两个不同参数的实际几何意义出发，加深对参数的认识，增加解题的灵活性。并能得到第二个结论：参数方程并不是唯一的。
解：x∈[-3，3]，y∈[-3,3]
都可化为x2+y2=9
故表示同一个圆
x=3sinα=3cos(90°-α)=3cosθ
y=3cosα=3sin(90°-α)=3sinθ
(令90°-α=θ，则α=90°-θ)
点评：这两个例题作为复习例题，主要是要求学生掌握参数运用过程当中的基本知识。对参数的认识要从它的实际意义上出发，以具体的图形来加深理解。不能仅仅停留在代数式的论证上，要通过几何意义来看。这不仅是学习参数的基础，也为利用参数方法来解题提供了数形结合的方法。其中例题（1）较为简单，容易理解，可通过动画演示P点在圆周上运动时，OP和x轴正向的夹角变化，表明参数θ的实际意义。可用不同颜色的线条来表明图形的不同。例题（2）的代数过程也就是化参数方程为普通方程的过程较为简单，困难的是说清楚α和θ的几何意义的不同，可提问基础比较好，解题比较灵活的同学。这样一来，在两个复习题当中，既确保了参数学习的基础，同时也在难度上实施了分层推进。
4．圆 (x-a)2+(y-b)2 = r2 的
参数方程： x=a+rcosθ 0≤θ＜2π
y=b+rsinθ
点评：整个复习的过程穿插提问和习题，注重数形结合，特别要讲清楚参数几何意义。
二．新课
（由教师给出例题，引导学生给出解答和归纳小结。）
例1． 圆x2+y2=1（y≥0）,求x+y的最大值和最小值。
分析：由参数方程的一般解题思路，先要根据题目给出普通方程的参数表示法，学生在化解的时候，特别要注意参数的范围怎么根据“y≥0”这个条件来确定。有了将x和y两个变量用一个参数变量表达出来之后，怎样正确运用三角函数来确定x+y的范围是个难点，考虑到教学的实际需要，要通过正弦函数的图象来详细说明，让所有的同学特别是基础较差的同学可以有一个直观上的认识。
解： x=cosθ(0≤θ≤π)
y=sinθ
则
时(x+y)max= π时（x+y）min= —1
（鼓励学生用其他方法来解答这道题目。）
分析：如果将x+y设为b，变一下形，这道题目就可以用解析几何的方法来解决。将x和y看成半圆上点的横坐标和纵坐标，则b的值可看成过曲线上一点所作直线的纵截距，利用推平行线，很容易得到b的最大最小值。
解：令x+y=b则y=-x+b.
当b变动时，为一组平行线。如图，
利用勾股定理可得b∈ -1,
点评：利用参数解题是一种很好的数学方法，特别是当变量多于一个或者是两个以上时。但是必须要注意的是参数的范围，这就牵涉到三角函数的综合运用。尤其值得一提的是，这道题目的第二种解法，相对而言其方便简单程度更胜于参数的解法，这就需要学生在解题时的灵活运用。数学锻炼人的逻辑思维，培养学生一题多解的能力，既是激发他们的潜能，也是潜移默化他们的数学思想，提高他们的学习积极性和主动探索实践的能力。
例2．已知P是圆x2+y2=1上任意一点，点P关于点A（2，0）的对称点为Q，点P绕圆心O逆时针旋转900到达R点，问当P点在圆上哪个位置时，线段QR的长度的最大值与最小值各是多少？
分析：要用参数方程来解决这道题目，首先也是要正确地确定参数，并且把直角坐标系中所有点的坐标都用同一个参数准确地表示出来，先利用两点间的距离公式给出长度的参数表示，并根据参数的范围，运用三角函数的有关知识，最后通过代数运算来求得长度的最值。
解：设圆x2+y2=1的参数方程为： x=cosθ （O≤θ≤2π）
y=sinθ
各点参数坐标如图所示
则RQ2=(4- cosθ+sinθ)2+（-sinθ-cosθ）2
=16+1+1-8cosθ+8sinθ-2cosθsinθ+2sinθcosθ
=18+8(sinθ-cosθ)=18+8 sin(θ- )
∵O≤θ≤2π ∴- ≤θ- ≤
则 θ- = θ= 时sin(θ- )=1 ∴|RQ| max = =4+
此时 P（- ， ）
θ- = θ= 时sin(θ- )=-1 ∴|RQ| min = =4 -
此时 P（ ，- ）
点评：这道题目要注意以下几点：首先是确定哪个角为参数，是OP与x轴正向的夹角，而不是OR或者OQ，这是解决这题的基础。然后在进行代数运算展开平方式的时候，容易计算错误，利用多媒体作计算方面的演示，使过程非常清楚。第三对于开根号的问题，是个难点，可利用设18+8=()2,则a+b=18,a*b=32,再通过韦达定理求解。
这两个例题分别从两个方面介绍了圆的参数方程的具体运用，归根结底还是先要掌握一个把普通方程转化为参数方程的一个设参的问题。让学生先对这一种数学方法有所体会。
三．巩固练习
（由教师给出题目，学生自行完成，教师选择部分有代表性的学生答案利用投影仪演示。）
1．若实数x、y满足条件: x2+y2-2x+4y=0,求x-2y的最大值。
2．一个动点P在圆x2+y2=1上移动，它与定点（3，0）连线的中点为M，求点M的轨迹方程。
θ∈[0，2π）
1、解：（x-1）2+(y+2)2=5 设其参数方程为 x=1+ cosθ
y=-2+ sinθ
则x-2y=1+ cosθ-2(-2+ sinθ)=5-(2 sinθ- cosθ)
=5-5sin(θ-arctg ) 当sin(θ-arctg )=-1时 （x-2y）max=10
2、解一：设x2+y2=1的参数方程为 x=cosθ
y=sinθ
θ∈[0，2π） 则可设P的坐标为(cosθ,sinθ)
由M为P与定点（3，0）中点可得M的坐标满足 x=
y=
消去θ，得M的轨迹方程为：（2x-3）2+(2y)2=1 即 x2+y2-3x+2=0
解二：设M（x,y） 由M为P与（3，0）中点可得 x=
P(Xp,Yp) y=
由P点在圆上，可得（2x-3）2+(2y)2=1 即x2+y2-3x+2=0
点评：第一个练习针对前两个例题，学生在解答时，一般都比较有方向。第二个例题学生自行体会，一般也能解出。要提醒注意以下问题。一是参数的设法是不是符合要求，范围有没有给出。二是对于三角函数中引入辅助角要严格按照一般的格式asinA+bcosA=sin(A±arctg )，（a,b＞0）。第三点，这两题都可以有别的方法可以求解，时间允许的话，可让学生演示自己的解法，鼓励他们走上讲台，激发他们学习数学的主动性和积极性。
四．小结
（在教师引导下要求学生作出总结，并利用多媒体演示。）
1. 圆的参数方程常被用来解决求最值和求点的轨迹等问题上。
2. 注意参数的选取和范围，特别是参数方程和普通方程互化的时候。
3. 恰当运用三角恒等式和三角函数的有关知识。
五．作业
《一课一练》P121-122
附加思考题： 圆x2+y2=4上有定点A（2，0），点B、C为圆上动点，且∠BAC=600，求êABC的重心的轨迹方程。
课后自评：
本节课是在学校“确保基础，分类活动，分层推进，激发潜能”的教育思想的指引下进行设计的。在复习和新课中都分别加以贯彻。复习中，在确保基础的前提下，利用两个例题来分层推进，第一层让学生体会到参数取值范围对曲线的影响，第二层通过参数方程和普通方程的互化让学生体会到对于同一条曲线而言，参数未必是唯一的。而认识到参数的几何意义，对这一点很具有直观性。在新课的教学中，第一层是主要通过两个例题来看利用参数方程求最值的一般方法，利用了化普通方程为参数方程。而第二层利用参数方程求轨迹则主要通过练习由学生自己来探究，充分调动学生学习的自主性。由于考虑到实际情况，这一部分内容不宜加深加难，在课堂教学不搞难题偏题，也是本节内容教学大纲的需要。在整个教学过程中充分考虑到学生学习的参与性，多让学生来讲，可以提出不同的解题方法，充分发掘他们的潜能，通过多次活动来介绍演示，作出归纳总结，让学生体会到数学的学习并不是枯燥乏味的，而是充满了智慧和多样性。最后的作业，分基本题和附加题，让一些基础比较好的同学，作多一点探究，也是激发他们潜能，分层次教学的需要。
教学重点：
（1）参数选取的范围对参数方程的影响。
（2）利用圆的参数方程求最值和求点的轨迹。
教学难点：
利用圆的参数方程求最值和点的轨迹时参数的范围对解答过程的影响及三角函数
的准确运用。
教 具：多媒体电脑、投影仪、黑板
教学过程：
一．复习
（由教师提问，学生回答，多媒体演示。）
1． 参数方程的定义：一般地，在取定的直角坐标系中，如果曲线上任意一点P的
坐标x,y都是某个变数t的函数： x= f（t）
y= g（t） 并且对于t的每一个允许值，
由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组被叫做这条曲线的
参数方程，联系x,y之间关系的变数t叫做参变量，简称参数。
2．普通方程的定义：直接给出曲线上点的坐标x,y之间关系的方程。
3．圆x2+y2=r2的参数方程： x = rcosθ 0≤θ＜2π
y= rsinθ
参数的几何意义：
（通过对以上概念的复习，使学生思想集中起来，进入到圆的参数方程的学习当中去，为接下去的学习创设一个良好的学习氛围。）
复习例题（1）参数方程 x=3cosθ （0≤θ ＜2π）与 x=3cosθ（0≤θ ≤π）
y=3sinθ y=3sinθ
是否表示同一曲线？
分析：这两个方程形式上完全一样，只是参数的范围不一样，学生很容易就分辨出
来是表示不一样的两条曲线。并能得到第一个结论：参数的取值范围也是参数方程的组成部分。
复习例题（2）参数方程 x=3cosθ （0≤θ ＜2π）与 x=3sinα（0≤α＜2π）
y=3sinθ y=3cosα
是否表示同一曲线？
分析：这两个方程在参数的取值范围上是一样的，但是方程的形式不同，学生可以通过考察参数方程化为普通方程之后形式是否一样，同时定义域和值域是否一样，及最后曲线的具体形状来判断是否表示为同一曲线，同时可从两个不同参数的实际几何意义出发，加深对参数的认识，增加解题的灵活性。并能得到第二个结论：参数方程并不是唯一的。
解：x∈[-3，3]，y∈[-3,3]
都可化为x2+y2=9
故表示同一个圆
x=3sinα=3cos(90°-α)=3cosθ
y=3cosα=3sin(90°-α)=3sinθ
(令90°-α=θ，则α=90°-θ)
点评：这两个例题作为复习例题，主要是要求学生掌握参数运用过程当中的基本知识。对参数的认识要从它的实际意义上出发，以具体的图形来加深理解。不能仅仅停留在代数式的论证上，要通过几何意义来看。这不仅是学习参数的基础，也为利用参数方法来解题提供了数形结合的方法。其中例题（1）较为简单，容易理解，可通过动画演示P点在圆周上运动时，OP和x轴正向的夹角变化，表明参数θ的实际意义。可用不同颜色的线条来表明图形的不同。例题（2）的代数过程也就是化参数方程为普通方程的过程较为简单，困难的是说清楚α和θ的几何意义的不同，可提问基础比较好，解题比较灵活的同学。这样一来，在两个复习题当中，既确保了参数学习的基础，同时也在难度上实施了分层推进。
4．圆 (x-a)2+(y-b)2 = r2 的
参数方程： x=a+rcosθ 0≤θ＜2π
y=b+rsinθ
点评：整个复习的过程穿插提问和习题，注重数形结合，特别要讲清楚参数几何意义。
二．新课
（由教师给出例题，引导学生给出解答和归纳小结。）
例1． 圆x2+y2=1（y≥0）,求x+y的最大值和最小值。
分析：由参数方程的一般解题思路，先要根据题目给出普通方程的参数表示法，学生在化解的时候，特别要注意参数的范围怎么根据“y≥0”这个条件来确定。有了将x和y两个变量用一个参数变量表达出来之后，怎样正确运用三角函数来确定x+y的范围是个难点，考虑到教学的实际需要，要通过正弦函数的图象来详细说明，让所有的同学特别是基础较差的同学可以有一个直观上的认识。
解： x=cosθ(0≤θ≤π)
y=sinθ
则
时(x+y)max= π时（x+y）min= —1
（鼓励学生用其他方法来解答这道题目。）
分析：如果将x+y设为b，变一下形，这道题目就可以用解析几何的方法来解决。将x和y看成半圆上点的横坐标和纵坐标，则b的值可看成过曲线上一点所作直线的纵截距，利用推平行线，很容易得到b的最大最小值。
解：令x+y=b则y=-x+b.
当b变动时，为一组平行线。如图，
利用勾股定理可得b∈ -1,
点评：利用参数解题是一种很好的数学方法，特别是当变量多于一个或者是两个以上时。但是必须要注意的是参数的范围，这就牵涉到三角函数的综合运用。尤其值得一提的是，这道题目的第二种解法，相对而言其方便简单程度更胜于参数的解法，这就需要学生在解题时的灵活运用。数学锻炼人的逻辑思维，培养学生一题多解的能力，既是激发他们的潜能，也是潜移默化他们的数学思想，提高他们的学习积极性和主动探索实践的能力。
例2．已知P是圆x2+y2=1上任意一点，点P关于点A（2，0）的对称点为Q，点P绕圆心O逆时针旋转900到达R点，问当P点在圆上哪个位置时，线段QR的长度的最大值与最小值各是多少？
分析：要用参数方程来解决这道题目，首先也是要正确地确定参数，并且把直角坐标系中所有点的坐标都用同一个参数准确地表示出来，先利用两点间的距离公式给出长度的参数表示，并根据参数的范围，运用三角函数的有关知识，最后通过代数运算来求得长度的最值。
解：设圆x2+y2=1的参数方程为： x=cosθ （O≤θ≤2π）
y=sinθ
各点参数坐标如图所示
则RQ2=(4- cosθ+sinθ)2+（-sinθ-cosθ）2
=16+1+1-8cosθ+8sinθ-2cosθsinθ+2sinθcosθ
=18+8(sinθ-cosθ)=18+8 sin(θ- )
∵O≤θ≤2π ∴- ≤θ- ≤
则 θ- = θ= 时sin(θ- )=1 ∴|RQ| max = =4+
此时 P（- ， ）
θ- = θ= 时sin(θ- )=-1 ∴|RQ| min = =4 -
此时 P（ ，- ）
点评：这道题目要注意以下几点：首先是确定哪个角为参数，是OP与x轴正向的夹角，而不是OR或者OQ，这是解决这题的基础。然后在进行代数运算展开平方式的时候，容易计算错误，利用多媒体作计算方面的演示，使过程非常清楚。第三对于开根号的问题，是个难点，可利用设18+8=()2,则a+b=18,a*b=32,再通过韦达定理求解。
这两个例题分别从两个方面介绍了圆的参数方程的具体运用，归根结底还是先要掌握一个把普通方程转化为参数方程的一个设参的问题。让学生先对这一种数学方法有所体会。
三．巩固练习
（由教师给出题目，学生自行完成，教师选择部分有代表性的学生答案利用投影仪演示。）
1．若实数x、y满足条件: x2+y2-2x+4y=0,求x-2y的最大值。
2．一个动点P在圆x2+y2=1上移动，它与定点（3，0）连线的中点为M，求点M的轨迹方程。
θ∈[0，2π）
1、解：（x-1）2+(y+2)2=5 设其参数方程为 x=1+ cosθ
y=-2+ sinθ
则x-2y=1+ cosθ-2(-2+ sinθ)=5-(2 sinθ- cosθ)
=5-5sin(θ-arctg ) 当sin(θ-arctg )=-1时 （x-2y）max=10
2、解一：设x2+y2=1的参数方程为 x=cosθ
y=sinθ
θ∈[0，2π） 则可设P的坐标为(cosθ,sinθ)
由M为P与定点（3，0）中点可得M的坐标满足 x=
y=
消去θ，得M的轨迹方程为：（2x-3）2+(2y)2=1 即 x2+y2-3x+2=0
解二：设M（x,y） 由M为P与（3，0）中点可得 x=
P(Xp,Yp) y=
由P点在圆上，可得（2x-3）2+(2y)2=1 即x2+y2-3x+2=0
点评：第一个练习针对前两个例题，学生在解答时，一般都比较有方向。第二个例题学生自行体会，一般也能解出。要提醒注意以下问题。一是参数的设法是不是符合要求，范围有没有给出。二是对于三角函数中引入辅助角要严格按照一般的格式asinA+bcosA=sin(A±arctg )，（a,b＞0）。第三点，这两题都可以有别的方法可以求解，时间允许的话，可让学生演示自己的解法，鼓励他们走上讲台，激发他们学习数学的主动性和积极性。
四．小结
（在教师引导下要求学生作出总结，并利用多媒体演示。）
1. 圆的参数方程常被用来解决求最值和求点的轨迹等问题上。
2. 注意参数的选取和范围，特别是参数方程和普通方程互化的时候。
3. 恰当运用三角恒等式和三角函数的有关知识。
五．作业
《一课一练》P121-122
附加思考题： 圆x2+y2=4上有定点A（2，0），点B、C为圆上动点，且∠BAC=600，求êABC的重心的轨迹方程。
课后自评：
本节课是在学校“确保基础，分类活动，分层推进，激发潜能”的教育思想的指引下进行设计的。在复习和新课中都分别加以贯彻。复习中，在确保基础的前提下，利用两个例题来分层推进，第一层让学生体会到参数取值范围对曲线的影响，第二层通过参数方程和普通方程的互化让学生体会到对于同一条曲线而言，参数未必是唯一的。而认识到参数的几何意义，对这一点很具有直观性。在新课的教学中，第一层是主要通过两个例题来看利用参数方程求最值的一般方法，利用了化普通方程为参数方程。而第二层利用参数方程求轨迹则主要通过练习由学生自己来探究，充分调动学生学习的自主性。由于考虑到实际情况，这一部分内容不宜加深加难，在课堂教学不搞难题偏题，也是本节内容教学大纲的需要。在整个教学过程中充分考虑到学生学习的参与性，多让学生来讲，可以提出不同的解题方法，充分发掘他们的潜能，通过多次活动来介绍演示，作出归纳总结，让学生体会到数学的学习并不是枯燥乏味的，而是充满了智慧和多样性。最后的作业，分基本题和附加题，让一些基础比较好的同学，作多一点探究，也是激发他们潜能，分层次教学的需要。
参考资料： http://www.no60school.com/goodjiaoan/s6_8.htm
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我想说的都被他说了
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