Question

高中数学函数最值问题

若bn=(lnx)^n/n^2,若对任意的x∈(1,e]和任意正整数n，总有Tn＜r(Tn为bn的前n项和），则正整数r的最小值为

Answer 1

当x=e时 lnx有最大值一 则bn有最大值1/n^2 又因为1/n^2小于1/n(n-1)则将Tn放缩成1/n(n-1)来算 则Tn=1+1-1/2+1/2-1/3+.....+1/(n-1)-1/n 即1-1/n 因为1-1/n小于1 所以r的最小值是1

Answer 2

r的最小值为1，解法：
在Tn中x的值不变，我们对Tn中的x求导得Tn'，令Tn'=0得x=1，但是由于x>1所以Tn'>0，即Tn在x∈(1,e]是单调递增的，当x=e时，Tn有最大值，即Tn=1-2^(-n)，这个自己求。即Tn＜1，得证