Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与 AC切于点D

已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与 AC切于点D，连接DB，DE，OC．（1）从图中找出一对相似三角形（不添加任何字母和辅助线），并证明你的结论；（2）若AD=2，AE=1，求CD的长．

Answer 1

（1）△BCO ∽ △DBE．
∵∠BDE=90°，∠CBO=90°，
∴∠BDE=∠CBO，
又∵OC⊥BD，
∴∠DEB+∠DBE=∠DBE+∠BOC=90°，
∴∠DEB=∠BOC，
∴△BCO ∽ △DBE；

（2）∵AD 2 =AE?AB，AD=2，AE=1，
∴AB=4，
∵CD=CB，∠ABC=90°，设CD的长为x，
则（x+2） 2 =x 2 +4 2 ，
解得x=3，即CD=3．