Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不

已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=﹣ x 2 +mx+n的图象经过A，C两点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）求证：∠BEF=∠AOE；（3）当△E OF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2 +1）倍．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

解：（1）如答图①， ∵A （﹣2，0），B （0，2）， ∴OA=OB=2， ∴AB 2 =OA 2 +OB 2 =2 2 +2 2 =8， ∴AB=2 ， ∵OC=AB， ∴OC=2 ， 即C（0，2 ）， 又∵抛物线y=﹣ x 2 +mx+n的图象经过A、C两点， 则可得： ， 解得：m=﹣ ，n=2 ， ∴抛 物线的表达式为y=﹣ x 2 ﹣ x+2 ； （2）∵OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠BAO=∠ABO=45°， 又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE， ∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF， ∴∠BEF=∠AOE； （3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°， 在△EOF中，∠EOF=180°﹣∠OEF﹣∠OFE =180°﹣45°﹣45° =90°， 又∵∠AOB＝90°， 则此时点E与点A重合，不符合题意，此种情况不成立；②如答图②，当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=4 5°， 在△EOF中，∠EFO=180°﹣∠OEF﹣∠EOF =180°﹣45°﹣45° =90°， ∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°， ∴EF∥AO， ∴ ∠BEF=∠BAO=45°， 又∵ 由（2）可知，∠ABO=45°， ∴∠BEF=∠ABO， ∴BF=EF， ∴EF=BF=OF= OB= ×2＝1， ∴E（﹣1，1）； ③如答图③，当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H， 在△AOE和△BEF中， ∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF， ∴△AOE≌△BEF， ∴BE=AO=2， ∵EH⊥OB， ∴∠EHB=90°， ∴∠AOB=∠EHB， ∴EH∥AO， ∴∠BEH=∠BAO=45°． 在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45°， ∴EH=BH=BEcos45°=2× = ， ∴OH=OB﹣BH=2﹣2 ， ∴ E（﹣ ，2﹣ ）． 综上所述，当△EOF为等腰三角形时，所求E点坐标为 E（﹣1，1）或E（﹣ ，2﹣2 ）； （4）P（0，2 ）或P（﹣1，2 ）．

答图① 答图② 答图③