Question

如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF于点H．若EF=BE+DF

如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF于点H．若EF=BE+DF，那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH=FD；③∠EAF=45°；④S△EAF=S△ABE+S△ADF；⑤△CEF的周长为2．其中正确结论的个数是（　　）A．2B．3C．4D．5

Answer 1

解：如图：把△ABE绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，则△ABE≌△ADG，∠EAG=∠BAD=90°，
∴∠ABE=∠ADG=90°，AE=AG，BE=DG，
∴∠FDG=∠FDA+∠ADG=90°+90°=180°，
∴F、D、G三点共线．
∵EF=BE+DF，
∴EF=DG+DF=GF．
∵在△AGF与△AEF中，

AG＝AE GF＝EF AF＝AF

，
∴△AGF≌△AEF（SSS），
∴∠GAF=∠EAF，∠1=∠2，
∵∠GAF+∠EAF=∠EAG=90°，
∴∠EAF=

1

2

×90°=45°，故③正确；
∵∠1=∠2，AD⊥FG于D，AH⊥EF于H，
∴AD=AH，
∵AD=AB，
∴AH=AB，
又∵AH⊥EF于H，AB⊥BC于B，
∴AE平分∠BEF，故①正确；
∵AE平分∠BEF，
∴∠AEB=∠AEH，
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEH+∠HAE=90°，
∴∠BAE=∠HAE，
又∵EH⊥AH于H，EB⊥AB于B，
∴BE=HE，
∵BE=DG，
∴HE=DG，
∵EF=HE+FH，GF=DG+FD，EF=GF，
∴FH=FD，故②正确；
∵△AEF≌△AGF，
∴S_△EAF=S_△GAF．
∵△ABE≌△ADG，
∴S_△GAF=S_△ADG+S_△ADFS_△ABE+S_△ADF，
∴S_△EAF=S_△ABE+S_△ADF，故④正确；
∵EF=HE+FH，BE=HE，FH=FD，
∴EF=BE+FD，
∴△CEF的周长=EF+EC+CF=BE+FD+EC+CF=BC+CD=2AB=2，故⑤正确．
故选D．