Question

已知二次函数f（x）=px2+qx（p≠0），其导函数为f'（x）=6x-2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)

已知二次函数f（x）=px2+qx（p≠0），其导函数为f'（x）=6x-2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若cn＝13(an+2)，2b1+22b2+23b3+…+2nbn＝cn，求数列{bn}的通项公式．

Answer 1

（1）∵f（x）=px²+qx（p≠0），
∴f′（x）=2px+q=6x-2，
∴p=3，q=2，
∴f（x）=3x²-2x，
∵点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上，
∴S_n=3n²-2n，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-5，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=6n-5．
（2）由（1）得，cn＝

1

3

(an+2)＝2n?1，2b1+22b2+23b3+…+2nbn＝2n?1，
当n=1时，b1＝

1

2

，…（7分）
当n≥2时，2b1+22b2+23b3+…+2n?1bn?1+2nbn＝2n?12b1+22b2+23b3+…+2n?1bn?1＝2(n?1)?1
两式相减得：bn＝

1

2n?1

＝21?n，…（11分）
故数列{b_n}的通项公式：bn＝

1 2 ，n＝1 21?n，n≥2，n∈N*

…（12分）