Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．

(1)求证：四边形AEDF是平行四边形；（2）设AE=x，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数表达式。

Answer 1

1、∵AB=DC
∴∠ABC=∠C=60°
∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD=∠ABD=1/2∠ABC=30°
∴∠BDC=180°-∠C-∠CBD=180°-60°-30°=90°
∵AE⊥BD
∴∠AED=∠BDC=∠FDE=90°
在Rt△ABE中，∠ABE=30°
∴AE=1/2AB，AE∥DF
∵F是CD的中点
∴DF=1/2DC
∴AE=DF，（AE∥DF)
∴四边形AEDF是平行四边形
2、AE=1/2DC
CD=2x
∴BC=2CD=4x
DG²=DC²-CG²=(2x）²-x²=3x²(∠CDG=30°.CG=1/2DC)
∴S△BCD=1/2BC×DG=1/2×4X×√3X=2√3X²
DG=√3X
∵四边形DEGF的面积=1/2S△BCD
∴y=√3X²

Answer 2

（1）因为AB=AD,AE垂直于BD，那么点E为BD中点，又因为F是CD的中点，所以EF∥AD。
又因为∠C=60°，故角BAD=120°，那么角EAD为60°，所以AE∥DF，即有四边形AEDF是平行四边形。
（2）四边形DEGF的面积实际上就等于三角形EDG+三角形FDG的面积，那么就有y=1/2DG*EF，
因为AE=X，由EAD=60°，得到AD=2X，那么EF=2X。同样在三角形DCG中，DC=2X，角C=60°，那么DG=√3X。所以y=1/2DG*EF=1/2*2X*√3X==√3X²。