Question

麻烦您帮我解答一道证明题，谢谢了

设V是n维欧几里得空间，内积记为(α,β)，设T是V上的一个正交变换，记V1={α|Tα=α},V2={β|β=α-Tα,α∈V}，证明：

①V1,V2都是V的子空间；

②V=V1⊕V2.

请详细解答，谢谢！

Answer 1

1，V1=Ker(T-ι)，V2=Im(T-ι)，(ι是单位变换）
当然都是V的子空间，直接证也不难。

2、若a即属于V1又属于V2，那么
a=α-Tα,a=Ta
(a,a)=(α-Tα,α-Tα)=(α,α)+(Tα,Tα)+-(α,Tα)-(Tα,α)=0
故a=0，也就是V1交V2={0}

dimV1+dimV2=dimker(T-ι)+dimIm(T-ι)=n

V=V1⊕V2