Question

已知函数f(x)=x²+2x+3/x,x∈【2,+∞)

1）证明函数为增函数 2）求函数的最小值
非常抱歉，各位，题目应是（x²+2x+3）/x

Answer 1

（1）设2＜a＜b，
f（a）-f（b）
=（a²+2a+3)/a-（b²+2b+3）/b
=﹙ba²+2ba+3b-ab²-2ab-3a）/ab
=[ab（a-b）-3（a-b）]/ab
∵a＜b，∴分子小于0，分母大于0，值小于0，
∴f（x）在x∈[2，+∞）上是增函数。
由函数f（x）是单调增加，即在x=2取得最小值：
f（2）min=（2²+2×2+3）/2=11/2.

追问

非常抱歉，各位，题目应是（x²+2x+3）/x

追答

我就是按有括号做的。

Answer 2

f(x)=(x²+2x+3)/x=x+3/x+2
f'(x)=1-3/x^2=(x^2-3)/x^2>0 所以函数是增函数
f(x)=x+3/x+2 由1）得函数是增函数
则f(x)>=f(1)=6
所以函数的最小值是6

追问

非常抱歉，各位，题目应是（x²+2x+3）/x

追答

我就是按这做的！

追问

可你这一部错了)=(x²+2x+3)/x=x+3/x+2

追答

我怎么没有发现，麻烦给我指正一下！谢谢！

追问

你去几何画板里面把两个你说会等的划一下，两个根本不会等，我刚刚画了，不知为什么截图不来，你自己去看下

追答

你一定想多了！我就是将
(x²+2x+3)/x分子除以分母拆开而已

即x^2/x=x
2x/x=2
3/x=3/x
再将它们加起来就行了啊！
即(x²+2x+3)/x=x+3/x+2

Answer 3

f(x)=x^2+2x+3/x
=x^2+x+x+3/x
由于x∈【2,+∞)
所以x^2+x=(x+1/2)^2-1/4是增函数
令g(x)=x+3/x
令x1>x2
则g(x1)-g(x2)=(x1-x2)-(3/x1-3/x2)=(x1-x2)(3+x1x2)/(x1x2)>0
所以x+3/x也是增函数
所以f(x)函数为增函数
所以f(x)最小值=f(2)=4+4+3/2=19/2

追问

非常抱歉，各位，题目应是（x²+2x+3）/x

Answer 4

2

因为是增函数，所以x=2时取极小值9,5

追问

非常抱歉，各位，题目应是（x²+2x+3）/x

追答

我说怎么这么奇怪，。。。。但是方法是一样的，第一问同样是设x1,x2然后相减，第二问因为是增函数，直接带入x=2