Question

在二项式（1-2x)^n 展开式中，第5,6,7项的二项式系数成等差数列，求展开式的第2项

Answer 1

易知第5,6,7项的二项式系数分别为：C(n,4)，C(n,5)，C(n,6)
由于这三项系数成等差数列，故有：
2C(n,5)=C(n,4)+C(n,6)
即：2*n!/[5!·(n-5)!]=n!/[4!·(n-4)!] +n!/[6!·(n-6)!]
2/[5!·(n-5)!]=1/[4!·(n-4)!] +1/[6!·(n-6)!]
12/(n-5)!=30/(n-4)! +1/(n-6)!
12(n-4)=30 + (n-4)(n-5)
12n-48=30+n²-9n+20
n²-21n+98=0
(n-14)(n-7)=0
解得：n=14或n=7
当n=14时，展开式第二项T2=C(14,1)*(-2x)=-28x；
当n=7时，展开式第二项T2=C(7,1)*(-2x)=-14x。