Question

是否存在a.b.c，使等式1²+3²+5²+....+(2n-1)²=an^3+bn²+cn对任意正整数n都成立

Answer 1

解：
可以的，这个要用到公式：
1²+2²+3²+....+n²=n(n-1)(2n-1)/6

∴1²+3²+5²+....+(2n-1)²
=[1²+2²+3²+....+(2n)²]-[2²+4²+6²+....+(2n-2)²]
=2n(2n-1)(4n-1)/6-4(1²+2²+3²+....+n²)
=2n(2n-1)(4n-1)/6-4n(n-1)(2n-1)/6
=n(4n²-1)/3
=4n³/3-n/3
因此a=4/3,b=0,c=-1/3。

如仍有疑惑，欢迎追问。
祝：学习进步！

追问

我才刚到高一。。。这公式太高端了。。。还没学的好像

追答

做这道题自然是需要一定的课外积累了。
如果直接做，可以考虑的就是归纳法了，但是从最终答案来看，4n³/3-n/3实在是不容易猜想出来。
但是1²+3²+5²+....+(2n-1)²
=[1²+2²+3²+....+(2n)²]-[2²+4²+6²+....+(2n-2)²]
=[1²+2²+3²+....+(2n)²]-4(1²+2²+3²+....+n²)

这一步变形应该还是可以看得出的。

所以用归纳求解1²+2²+3²+....+n²=n(n-1)(2n-1)/6是一条比较合理的路线。
如果你实在不知道这个公式，只能实验一堆n的值，然后去猜4n³/3-n/3，很困难。这道题考的就是积累。

Answer 2

平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
展开=n^3/3+n^2/2+n/6
所以a=1/3，b=1/2，c=1/6

Answer 3

假设成立 n=1,2,3待定出系数 然后用数学归纳法证明

追问

那答案就是1,2,3了？归纳法证明我会。。。但是不知道怎么假设

追答

是假设成立 n=1,2,3 3个方程待定系数啊。。。不用动脑子的 上面给答案了

Answer 4

这个容我想想

追问

恩恩。。。谢谢了