在等边三角形ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M,N,D为三角形ABC外一点，且角MDN=60度，角BDC=120度
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（1）如果DM=DN，∠DMN=∠DNM，因为BD=DC，那么∠DBC=∠DCB=30°，也就有∠MBD=∠NCD=60+30=90°，直角三角形MBD、NCD中，因为BD=CD，DM=DN，根据HL定理，两三角形全等．那么BM=NC，∠BMD=∠DNC=60°，三角形NCD中，∠NDC=30°，DN=2NC，在三角形DNM中，DM=DN，∠MDN=60°，因此三角形DMN是个等边三角形，因此MN=DN=2NC=NC+BM，三角形AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC=2AB，三角形ABC的周长L=3AB，因此Q：L=2：3．
（2）如果DM≠DN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换．延长AC至E，使CE=BM，连接DE．（1）中我们已经得出，∠MBD=∠NCD=90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MB=CE，BD=DC，因此两三角形全等，那么DM=DE，∠BDM=∠CDE，∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．三角形MDN和EDN中，有DM=DE，∠EDN=∠MDN=60°，有一条公共边，因此两三角形全等，MN=NE，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为NE=CN+CE，因此NM=BM+CN．Q与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的．
（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D作∠CDN=∠MDB，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的∠DCH=∠MBD=90°，我们做的角∠BDM=∠CDH，BD=CD因此两三角形全等（ASA）．那么BM=CH，DM=DH，三角形MDN和NDH中，已知的条件有MD=DH，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道∠MDN=∠HDN，因为∠CDH=∠MDB，因此∠MDH=∠BDC=120°，因为∠MDN=60°，那么∠NDH=120°-60°=60°，因此∠MDN=∠NDH，这样就构成了两三角形全等的条件．三角形MDN和DNH就全等了．那么NM=NH=AN+AC-BM，三角形AMN的周长Q=AN+AM+MN=AN+AB+BM+AN+AC-BM=2AN+2AB．因为AN=x，AB=
1
3
L，因此三角形AMN的周长Q=2x+
2
3
L．
解答：解：（1）如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．
此时
Q
L
＝
2
3
．
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBD=∠NCD=90°．
在△MBD与△ECD中：
BM＝CE
∠MBD＝∠ECD
BD＝DC
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN与△EDN中：
DM＝DE
∠MDN＝∠EDN
DN＝DN
，
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
∴MN=NE=NC+BM．
△AMN的周长Q=AM+AN+MN
=AM+AN+（NC+BM）
=（AM+BM）+（AN+NC）
=AB+AC
=2AB．
而等边△ABC的周长L=3AB．
∴
Q
L
＝
2AB
3AB
＝
2
3
．
（3）如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，
则Q=2x+
2
3
L（用x、L表示）．
（2）如果DM≠DN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换．延长AC至E，使CE=BM，连接DE．（1）中我们已经得出，∠MBD=∠NCD=90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MB=CE，BD=DC，因此两三角形全等，那么DM=DE，∠BDM=∠CDE，∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．三角形MDN和EDN中，有DM=DE，∠EDN=∠MDN=60°，有一条公共边，因此两三角形全等，MN=NE，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为NE=CN+CE，因此NM=BM+CN．Q与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的．
（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D作∠CDN=∠MDB，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的∠DCH=∠MBD=90°，我们做的角∠BDM=∠CDH，BD=CD因此两三角形全等（ASA）．那么BM=CH，DM=DH，三角形MDN和NDH中，已知的条件有MD=DH，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道∠MDN=∠HDN，因为∠CDH=∠MDB，因此∠MDH=∠BDC=120°，因为∠MDN=60°，那么∠NDH=120°-60°=60°，因此∠MDN=∠NDH，这样就构成了两三角形全等的条件．三角形MDN和DNH就全等了．那么NM=NH=AN+AC-BM，三角形AMN的周长Q=AN+AM+MN=AN+AB+BM+AN+AC-BM=2AN+2AB．因为AN=x，AB=
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L，因此三角形AMN的周长Q=2x+
2
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L．
解答：解：（1）如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．
此时
Q
L
＝
2
3
．
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBD=∠NCD=90°．
在△MBD与△ECD中：
BM＝CE
∠MBD＝∠ECD
BD＝DC
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN与△EDN中：
DM＝DE
∠MDN＝∠EDN
DN＝DN
，
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
∴MN=NE=NC+BM．
△AMN的周长Q=AM+AN+MN
=AM+AN+（NC+BM）
=（AM+BM）+（AN+NC）
=AB+AC
=2AB．
而等边△ABC的周长L=3AB．
∴
Q
L
＝
2AB
3AB
＝
2
3
．
（3）如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，
则Q=2x+
2
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L（用x、L表示）．
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解：（1）如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．
此时
Q L ＝ 2/3
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
又△ABC是等边三角形，
∴∠MBD=∠NCD=90°．
在△MBD与△ECD中：
BM＝CE
∠MBD＝∠ECD
BD＝DC
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN与△EDN中：
DM＝DE
∠MDN＝∠EDN
DN＝DN
，
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
∴MN=NE=NC+BM．
△AMN的周长Q=AM+AN+MN
=AM+AN+（NC+BM）
=（AM+BM）+（AN+NC）
=AB+AC
=2AB．
而等边△ABC的周长L=3AB．
∴
QL=2AB 3AB ＝ 2/3
（3）如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，
则Q=2x+ 2/3L
此时
Q L ＝ 2/3
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
又△ABC是等边三角形，
∴∠MBD=∠NCD=90°．
在△MBD与△ECD中：
BM＝CE
∠MBD＝∠ECD
BD＝DC
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN与△EDN中：
DM＝DE
∠MDN＝∠EDN
DN＝DN
，
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
∴MN=NE=NC+BM．
△AMN的周长Q=AM+AN+MN
=AM+AN+（NC+BM）
=（AM+BM）+（AN+NC）
=AB+AC
=2AB．
而等边△ABC的周长L=3AB．
∴
QL=2AB 3AB ＝ 2/3
（3）如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，
则Q=2x+ 2/3L
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