Question

一道函数连续性证明题 设函数f(x)在区间[0,2a]上连续，且f(0)=f(2a)，证明：在[0

一道函数连续性证明题
设函数f(x)在区间[0,2a]上连续，且f(0)=f(2a)，证明：在[0,a]上至少存在一点Q，使f(Q)=f(Q+a).

Answer 1

令g(x)=f(a+x)-f(x)
则g(0)=f(a)-f(0)
g(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)
故g(0)g(a)=-[f(a)-f(0)]²<=0
所以在[0, a]内必有一点Q，使g(Q)=0
即f(Q)=f(Q+a)成立。
得证。