Question

一道常微分方程应用题

质量为1千克的质点被一力从某中心沿直线推开，该力的大小与这个中心到质点的距离成正比(比例常数为4)，介质阻力与运动速度成正比(比例常数为3).在开始运动时，质点与中心的距离为1米，速度为0，求质点的运动方程.

Answer 1

嗯~ 用的是二阶线性齐次常微分方程的知识：
1、首先建模，根据牛二定律 ma=F-f 其中F是推力，f是摩擦力
2、设位移是X=X(t),则加速度a=X''（二阶导数），F=4X，f=3X'(一阶导数)
3、方程化为 X''+3X'-4X=0
4、特征方程为：r2+3r+4=0 (r2是r的平方，这不好打)
5、特征根：r=-4 1
6、方程通解为 X(t)=A*exp(-4t)+B*exp(t) exp是指数函数的意思
7、带入位移和速度初始条件，让t=0，可求A=1/5，B=1/5
8、质点运动方程为： X(t)=1/5exp(-4t)+4/5exp(t)
纯手打。。。累，怀念高中啊

追问

我觉得“质点与中心的距离为1米”与所设的位移X=X(t)有矛盾，如果这样设的话，方程应为

X''+3X'-4（X+1）=0，那此时初始条件x(0)应为多少

追答

设的位移应该是相对于中心的位移；
如果按照你的想法，认为位移是相对质点的初始位置的，那么此时初始条件x(0)=0；
我觉得没必要这样额。个人意见；