Question

若不等式x²-ax+1≥0对一切x∈（0,1]恒成立，则a的取值范围是

Answer 1

令f(x)=x²-ax+1 易知对称轴为x=a/2 顶点为（a/2,1-a^2/4) 且抛物线过（0,1）大致图像如下

f(x)≥0对x∈(0,1]恒成立，则（1）a/2<0

                                        （2）0<a/2<1且1-a^2/4 ≥0 即0<a<2

                                        （3）a/2 ≥1且f(1)≥0 即a=2

由上可知a的取值范围为（-∞,0)∪(0,2]

Answer 2

参变分离，a≤x+1/x(因为x≠0),对一切x∈（0,1]恒成立
即a≤（x+1/x）min
∴令f(x)=x+1/x,x∈（0,1]
∴用基本不等式f(x)≥2 当且仅当x=1取“=” (x可以取到)，并且f(x)在（0,1]上为减函数
∴f(x)min=2
∴a≤2