Question

请用求导，解析几何以及三角换元三种方法分别求解下题：已知(x+2)^2+(y^2)/4=1,求x^2+y^2的取值范围

Answer 1

三角换元
设x=cost-2,y=2sint则
x²+y²=4sin²t+cost²-4cost+4=8-4cost-3cos²t=-3(cost+2/3)²+28/3,(t∈[0,2π))
当cost=-2/3时x²+y²取得最大值28/3
当cost=1时x²+y²取得最小值1
∴x²+y²取值范围为[1,28/3]

导数法
∵(x+2)²+y²/4=1
∴y²=4-4(x+2)²
∴x²+y²=x²+4[1-(x+2)²]=-3x²-16x-12
令x²+y²=u则u'=-6x-16
令u'=0则x=-8/3
又∵x的取值范围[-3,-1]
∴当x=-8/3时取得最大值28/3
当x=-1时取得最小值1
∴x²+y²取值范围为[1,28/3]

Answer 2

导数法：x^2+y^2=x^2+4[1-(x+2)^2]=-3x^2-16x-12
x的取值范围：[-3,-1]
求导数=-6x-16
x=-8/3的时候取最大值，是28/3
最小值在边界取到，-1的时候，为1

三角函数法：
x+2=cost
y/2=sint

x^2+y^2=cos^2(t)-4cost+4+4sin^2(t)=8-4cost-3cos^2(t)
剩下的就差不多了，换元让cost=w
于是就是求8-4w-3w^2在[-1,1]的范围

Answer 3

x^2+y^2=x^2+4[1-(x+2)^2]=-3x^2-16x-12
x的取值范围：[-3,-1]
即求上式在该范围内的值
对称轴x=-8/3
所以min=-3+16-12=1
max=-3*(8/3)^2+16*8/3-12=28/3
取值范围为【1，28/3】

追问

请根据我的要求解答，分别使用解析几何，三角换元和求导解答

追答

太麻烦了 我闪了