Question

积分换元法，怎么求这个定积分

Answer 1

　　解：∵1+x+x^2=(x+1/2)^2+3/4，设x+1/2=(√3/2)tant，则dx=(√3/2)(sect)^2dt，
　　t∈[π/6,π/3]
　　∴∫(0,1)√(1+x+x^2)dx=(3/4)∫(π/6,π/3)(sect)^3dt。
　　而∫(sect)^3dt=∫sectd(tant)=secttant-∫sect(tant)^2d=secttant-∫[(sect)^3-sect]dt，∴∫(sect)^3dt=(1/2)secttant+(1/2)ln丨sect+tant丨+C，
　　∴∫√(1+x+x^2)dx=(3/8)secttant+(3/8)ln丨sect+tant丨+C。
　　∴原式=(3/8)[secttant+ln丨sect+tant丨]（t=π/6,π/3)=(3/8)[(2√3-2/3+ln(1+2/√3)]。供参考。

Answer 2

首先,换元的时候,
被积函数与积分变量及积分上下限都要一起换.
第二,
因为x=1-t,
【复习一下微分公式,对于y=f(x),dy=f ' (x)dx★
就是说,函数的微分=函数的导数*自变量的微分dx】
现在,函数x=1-t,t是自变量,x是因变量,
函数的微分dx=(1-t) ' dt=-dt.