Question

初中超难几何题，急！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

如图①，将直角梯形OABC放在平面直角坐标系中，已知OA=5，OC=4，BC∥OA，BC=3，点E在OA上，且OE=1，连接OB、BE．（1）求证：∠OBC=∠ABE；（2）如图②，过点B作BD⊥x轴于D，点P在直线BD上运动，连接PC、PE、PA和CE．①当△PCE的周长最短时，求点P的坐标；②如果点P在x轴上方，且满足S△CEP：S△ABP=2：1，求DP的长．

Answer 1

解答：
解：（1）∵OC=4，BC=3，∠OCB=90°，
∴OB=5．
∵OA=5，OE=1，
∴AE=4，AB=

42+(5-3)2

=2

5

，
∴

AB
AE

=

OA
AB

，
又∵∠OAB=∠BAE，
∴△OAB∽△BAE，
∴∠AOB=∠ABE．
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴

∠OBC=∠ABE；

（2）①∵BD⊥x轴，ED=AD=2，
∴E与A关于BD对称，
∴当点C、P、A三点共线时，△PCE的周长最短．
∵PD∥OC，
∴
AD
AO
=
PD
OC
，即
2
5
=
PD
4
，
∴PD=
8
5
，
∴点P的坐标为（3，
8
5
）；
②设PD=t．
当0＜PD≤4时，
∵S△CEP=S梯形OCPD-S△OCE-S△DEP=
1
2
（t+4）×3-
1
2
×4×1-
1
2
×2t=
1
2
t+4，
S△ABP=
1
2
×2（4-t）=4-t，
∵S△CEP：S△ABP=2：1，
∴（
1
2
t+4）：（4-t）=2：1，
∴t=DP=
8
5
；
当PD＞4时，
∵S△CEP=S梯形OCPD-S△OCE-S△DEP=
1
2
（t+4）×3-
1
2
×4×1-
1
2
×2t=
1
2
t+4，
S△ABP=
1
2
×2（t-4）=t-4，
∵S△CEP：S△ABP=2：1，
∴（
1
2
t+4）：（t-4）=2：1，
∴t=DP=8．
故所求DP的长
8
5
或8．

Answer 2

我认为以上几个楼主回答的第二题时有误，CPA共线时，△PCE的周长最短吗，
本人认为，，△PCE的周长和A点是没有关系的，
所以，三点共线时，△PCE的周长不是最短！
正确的应是当△PCE为等腰三角形，且PC＝PE时，△PCE的周长才是最短的！
通过设P点的Y坐标为DP,
得出算式：ED²+DP²＝BP²+BC²
经代八已知数值得出结果：
DP＝21/8，
所以P点的坐标为P（3，21/8）.

希望楼主能好好思考一下！
本人希望高手也给指点一下！

Answer 3

有答案说CPA共线时△PCE的周长最短.

好像是错的，共线时PE与PA不相等

应该取一点E',是E点关于BD的对称点。

连续CE',交BD于P',此点才是△PCE的周长最短时的P点

Answer 4

（1）解析：∵在直角梯形OABC中，已知OA=5，OC=4，BC∥OA，BC=3，点E在OA上，且OE=1，连接OB、BE．
AB=√(OC^2+(OA-BC)^2)= √(16+4)=2√5
AE/AB=4/2√5=2√5/5、AB/OA=2√5/5
∴AE/AB=AB/OA
∵∠OAB=∠BAC，∴⊿OAB∽⊿BAC
∴∠OBC=∠AOB=∠ABE；

（2）解析：将直角梯形OABC放在平面直角坐标系中，O(0,0)，A(5,0)，B(3,4)，C(0,4)，E(1,0)
∵BD⊥X轴，点P在直线BD上运动
1)当C,P,A共线时，△PCE的周长最短
设P(3,y)
∵PD//OC，∴AD/OA=PD/OC==>2/5=y/4==>y=8/5
∴当△PCE的周长最短时，P(3, 8/5)

2)当0<=y<=4时
∵S△CEP/S△ABP=2
S△ABP=1/2*PB*AD=1/2*(4-y)*2=4-y
S△CEP=S(ODBC)-S(⊿OEC)-S(PED)-S(PBC)=4*3-1/2*4*1-1/2*2*y-1/2*3*(4-y)
=12-2-y-6+3y/2=4+y/2
∴4+y/2=8-2y==>y=8/5
∴DP=8/5
当y>4时
S△ABP=1/2*PB*AD=1/2*(y-4)*2=y-4
令PE交BC于F
⊿PFB∽⊿PED==>PB/PD=FB/ED=(y-4)/y==>FB=2(y-4)/y
S△CEP=1/2*CF*PB+1/2CF*BD=1/2*(3-2(y-4)/y)y=1/2*y+4
∴2(y-4)=1/2y+4==>y=8
当y<0时
S△ABP=1/2*PB*AD=1/2*(4-y)*2=4-y
令PC交OD于G
⊿PGD∽⊿PCB==>PD/PB=GD/CB=-y/(4-y)==>GD=-3y/(4-y)
S△CEP=1/2*EG*PD+1/2EG*BD=1/2*(2+3y/(4-y))(4-y)=1/2*y+4
∴2(4-y)=1/2y+4==>y=8/5,与y<0矛盾，无解

综上：当0<=y<=4时，PD=8/5；当y>4时，PD=8

Answer 5

（1）证明：法1，由题意，OA=5，OC=4，BC∥OA，BC=3，点E在OA上，且OE=1；
∴ AB/AE=OA/AB, 又∠AOB=∠ABE，即△OAB∽△BAC；
综上所述 ：∠OBC=∠ABE 得证。（此方法为纯几何方法得出，初二知识）
法2，依题意，过点B作BM⊥X轴与M，OA=5，OC=4，BC∥OA，BC=3，点E在OA上，且OE=1；
可知 △AMB≌△EMB，即∠ABE被平分；
∴ 在△ABE中，tan∠ABE=2tan(∠ABE/2)/[1-tan(∠ABE/2)^2]，即tan∠ABE=3/4；
在△OBC中，tan∠OBC=2tan∠OBC/[1-tan∠OBC^2]，即tan∠OBC=3/4；
综上所述 tan∠ABE=tan∠OBC 即 ∠OBC=∠ABE （均为锐角）得证。(初三三角函数知识)
（2）楼上各路大神都已经给出了答案，就不在此再重述了。
希望能够为楼主提供更多的解答方案。