Question

设三角形ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC

若b=2，c=1，D为BC中点，求AD的长

Answer 1

2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC
2sinBcosA=sin（A+C）
2sinBcosA=sinB
sinB不为0
cosA=1/2
A=60度
a^2=b^2+c^2-2bccosA=4+1-2*2*1/2=3
b^2=4,c^2=1
a^2+c^2=b^2
三角形是直角三角形，B=90度
BD=1/2BC=根号3/2
AD^2=AB^2+DB^2=1+3/4=7/4
AD=根号7/2

Answer 2

2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sin(180°-B)=sinB，所以2cosA=1，cosA=1/2，A=60°。
由余弦定理，a^2=b^2+c^2-2bc*cosA=4+1-2*2*1*cosA=5-2=3，a=√3。
a^2+c^2=b^2，所以△ABC是直角三角形，B是直角。
在直角三角形ABD中，AD=√(AB^2+BD^2)=√(1+3/4)=(√7)/2。