Question

已知函数f(x)=lim(n趋近于无穷)（x^(2n-1)+ax^2+bx)/(x^2n+1)为连续函数，求a，b的取值范围

Answer 1

f(x)=lim(n趋近于无穷)（x^(2n-1)+ax^2+bx)/(x^2n+1)
当|x|<1时，
n趋近于无穷，x^（2n-1）、x^2n趋近于0，此时f(x)=ax^2+bx

当|x|=1时，
x=1时，f(x)=(a+b+1)/2
x=-1时，f(x)=(a-b-1)/2

当|x|>1时，f(x)的分子分母同时除以x^2n
f(x)=lim(n趋近于无穷)[1/x+a/x^(2n-2)+b/x^(2n-1)]/[1+1/x^2n]
1/x^（2n-2）、1/x^（2n-1）、1/x^2n趋近于0，此时f(x)=1/x

因此，需考虑-1和1这两个点是否连续，即：
当x负向趋于-1时，1/x=-1；
当x正向趋于-1时，ax^2+bx=a-b
所以，a-b=(a-b-1)/2=-1，即a-b=-1

同理，考虑趋于1的情况可得：a+b=(a+b+1)/2=1^-1=1，即a+b=1，

因此，a=0,b=1。