Question

高等数学，对于这一题的A选项，为什么解析说：如果加一个“f(x)在x＝x0处连续”这个条件，A就正

高等数学，对于这一题的A选项，为什么解析说：如果加一个“f(x)在x＝x0处连续”这个条件，A就正确？我觉得即使f(x)连续，但在某一点的导数还是可能不存在啊，比如说f(x)＝绝对值x时，在x＝0这个点连续但不可导啊





Answer 1

除了连续这里还有limf'(x)=A这个条件，而你给的f(x)=|x|这个函数limf'(x)(x趋于0)的极限并不存在

追问

那我举另一个例子

追答

f'(x0)=b就是错误的，微积分学基本定理使用的条件是被积函数连续。这里f'(x0)=a，可去间断点对积分结果没有影响。

追问

为什么被积函数一定要连续？我又没有要求它的不定积分

追答

连续是使用微积分学基本定理的条件，也就是说你想得到f'(x0)=b前提条件就是被积函数f'(x)在x0处连续。
换个简单的例子，f(x)在原点值为1，其它处为0，F(x)是f(t)在-1到x处的积分，F(x)恒等于0，f(x)在原点的间断点并没有影响，因为是可去间断点。

追问

你的意思是导函数必须连续？

追答

建议你重新看一下微积分学基本定理你就知道问题在哪儿了

追问

你的意思不就是说导函数必须连续吗

照这么说我觉得B也是正确的啊

追答

我的意思是被积函数在x0处连续才能用微积分学基本定理求导

B显然不对，又没说导函数连续

追问

那B为什么不能用罗比塔法则呢

追答

洛必达法则是知道求导后的极限求原极限的，反过来并不行

追问

哦。。。

谢谢你啊，不过A还是不是特别懂。。。因为看了定积分那一章以后，总想着拿f(x)推F(x)，所以觉得f(x)可以不连续

你上午想表达的是不是这个意思啊

追答

F(x)在x=x0处可导的条件是f(x)在x=x0处连续或者x0是可去间断点，连续的话F'(x0)=f(x0)；可去间断点的话F'(x0)=limf(x)(x→x0)

追问

懂啦，谢谢