Question

一道高中数学题:已知an=2n-7,试求所有正整数m,使得am*a(m+1)/a(m+2)为数列an

一道高中数学题:已知an=2n-7,试求所有正整数m,使得am*a(m+1)/a(m+2)为数列an中的项。请写详细 谢谢

Answer 1

设am*a(m+1) / a(m+2)为an=2n-7中的第K项
即，am*a(m+1) / a(m+2)=2K-7

设b=a(m+1）则2K-7=b*(b-2)/ (b+2)
右边展开，并将7移项得
2K=（5b+b^2+14）/ (b+2)
对分子配方得
2K=[(b+2)^2+b+2+8]/ (b+2)=2(b+2)+8/ (b+2)

稍等……

追答

对分子配方得
2K=[(b+2)^2+b+2+8]/ (b+2)
=(b+2)＋1＋[8/ (b+2)]
=(b+3)＋[8/(b+2)]
所以，k=(b+3)/2＋[4/(b+2)]

因为k作为正整数，所以4能被b+2整除，b+3能被2整除
所以，b为奇数，b+2为奇数
又，b≥-5，b+2≥-3
所以，b+2＝-1或b+2＝1
b+2=-1时
b=-3，k=-4（不符合k为正整数，舍去）
b+2=1时
b=-1，k＝5（符合题意）

b=-1时，a(m+1)＝2m-5=-1
解得，m＝2
所以，满足题意的正整数m只有一个，m＝2