Question

已知各项均为正实数的数列an的前n项和为sn,且对一切n∈N*,sn是an和1/an的等差中项

求an的通项公式

Answer 1

n=1时, 2S1=S1+1/S1, S1 = 1，b1=S1^2=1
n>1时, an=Sn-Sn-1
2Sn=Sn - Sn-1 + 1/(Sn - Sn-1)
(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=1
即 Sn^2 - Sn-1^2 = 1
bn - bn-1 = 1
bn是首项、公差均为1的等差数列

bn=n
即 Sn^2=n，Sn=√n
n=1时，a1=S1=1
n>1时，an=Sn-Sn-1 = √n-√(n-1)
综上，数列｛an｝的通项公式为an=√n-√(n-1)