Question

（2012•南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，

（2012•南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．

Answer 1

1、证明：在梯形ABCD中，

  ∵AD∥BC，AB=DC

  ∴AC=BD

  ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点

∴EF、GH、FG、EH分别是△ABC,△DAC,△BCD和△ABD的中位线

∴EF=GH=1/2AC   FG=EH=1/2BD     EF∥GH∥AC  FG∥EH∥BD

∴EF=GH=FG=EH

∴四边形EFGH为菱形

∵AC⊥BD

∴EF⊥FG

∴四边形EFGH为正方形

2

过D点做DM∥AC，交BC 的延长线与M点

∴四边形ACMD为平行四边形

∴AC=DM  AD=CM=2

∵AC=BD，AC⊥BD

∴△BDM为等腰直角三角形

∴BM=BC+CM=6

∴AC=3√2

∵EF=1/2AC   

∴EF=(3√2)/2

∴正方形EFGH的面积=[(3√2)/2]²=4.5